Question

已知a＜2，．（注：e是自然对数的底）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[-2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，再分类讨论，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）由题意，存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[-2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，等价于对任意x1∈[e，e2]及x2∈[-2，0]，f（x）min＜g（x）min，确定函数的单调性，求出最值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），
∵a＜2，∴a-1＜1
①当a-1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
②当0＜a-1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a-1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上所述，当a≤1时，f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）；当1＜a＜2时，f（x）的单调减区间是（a-1，1），单调增区间是（0，a-1），（1，+∞）；
（2）由题意，存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[-2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，等价于对任意x1∈[e，e2]及x2∈[-2，0]，f（x）min＜g（x）min，
由（1），当a＜2，x1∈[e，e2]时，f（x）是增函数，f（x）min=f（e）=
∵g′（x）=x（1-ex），对任意的x2∈[-2，0]，g′（x）≤0
∴g（x）是奇函数，∴g（x）min=g（0）=1
∴
∴
∵a＜2
∴