Question

设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=mx+y仅在点（3，1）处取得最大值，则m的取值范围是    ．

Answer

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的四边形OABC及其内部，再将目标函数z=mx+y对应的直线l进行平移，因为当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值，所以直线l的斜率应该小于直线BC的斜率．由此建立关于m的不等式，解之即可得到实数m的取值范围．
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（3，1），C（0，4），O（0，0）
设z=F（x，y）=mx+y，将直线l：z=mx+y平移，可得
若当且仅当直线l经过B（3，1）时，目标函数z=mx+y取得最大值
则直线l的斜率-m＜0且-m＜kBC=-1，解之得m＞1
因此，m的取值范围是（1，+∞）
故答案为：（1，+∞）