Question

已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，；当a_n为奇数时，．
（1）若a₁=64，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（3）设（m≥3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：．（ ）

Answer

（1）由，可得{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{an}的通项公式即可；
（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；
（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则ak是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．故对于给定的m，Sn的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．
【解析】
（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，
即{an}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．   …（2分）
故数列{an}的通项公式为．        …（4分）
（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；
若a1=4k+1（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）
若a1=4k+2（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；
若a1=4k+3（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；
∴a1的值为-3，-1，0，2．                                 …（10分）
（3）由（m≥3），可得，，，
若，则ak是奇数，从而，
可得当3≤n≤m+1时，成立．                …（13分）
又，am+2=0，…
故当n≤m时，an＞0；当n≥m+1时，an=0．            …（15分）
故对于给定的m，Sn的最大值为a1+a2+…+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+…+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+…+21）-m-3=2m+1-m-5，
故．                                    …（18分）