Question

已知x轴上有一列点P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1 P_n+1 作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长度分别 为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n关于n的解析式；
（2 ）证明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）设点P（n，a_n） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y= 的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）由于Pn是把Pn-1Pn+1线段作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，所以知Pn-1Pn=（n-1）PnPn-1，从而可得=，进而利用叠乘即可求出a2，a3和an的表达式；
（2）对通项进行放缩，再求和，利用等比数列的求和公式即可证明；
（3）假设存在，即可得=，再设bn=，考查数列{bn}单调减即可．
（1）【解析】
由已知Pn-1Pn=（n-1）PnPn-1
令n=2，P1P2=P2P3，∴a2=1，同理a3=，=
∴an=an-1=••an-2=…=
（2）证明：∵n≥2时，=≤
∴a1+a2+a3+…+an≤1+1++…=3-＜3
而n=1时，结论成立，故a1+a2+a3+…+an＜3；
（3）假设有两个点A（p，ap），B（q，aq），都在函数y=上，
即ap=，aq=
所以=k，=k，消去k得= ①，
设bn=，考查数列{bn}的增减情况，
∵bn-bn-1=-=-，
∴当n＞2时，n2-3n+1＞0，所以对于数列{bn}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在两个点同时在函数y= 的图象上．