Question

已知数列{a_n}，{b_n} 满足：a₁=0，b₁=2013，且对任意的正整数 n，a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列．
（1）求 a₂，b₂的值；
（2）证明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n} 均成等比数列；
（3）是否存在唯一的正整数 c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立？证明你的结论．

Answer

（1）利用等差中项公式即可求得a2，b2；
（2）由an，an+1，bn 和 an+1，bn+1，bn均成等差数列，得即，只证为常数即可，把①②代入该式即可证得；同理把①②代入可证得为常数，注意验证其首项不为0；
（3）由（2）得，解得，易判断{an}是单调递增数列，{bn}是单调递减数列，且an＜1342＜bn，n∈N*，再证明对任意的n∈N*且n≥7时，1341＜an＜1342＜bn＜1343即可说明c的唯一性．
【解析】
（1）因为an，an+1，bn 和 an+1，bn+1，bn均成等差数列，
所以，=；
（2）依题意，对任意的正整数n，有⇒，
因为==（常数），n∈N*，
又a1-b1=-2013≠0，
所以{an-bn}是首项为-2013，公比为的等比数列；
因为==1（常数），n∈N*，
又a1+2b1=4026≠0，
所以{an+2bn}是首项为4026，公比为1的等比数列．
（3）由（2）得，，解之，得，
显然，{an}是单调递增数列，{bn}是单调递减数列，且an＜1342＜bn，n∈N*，即存在正整数c=1342，使得对任意的n∈N*，有an＜1342＜bn，
又令，得22n-2＞1342，而210=1024，212=4096，所以2n-2≥12，n≥7，即对任意的n∈N*且n≥7时，1341＜an＜1342＜bn＜1343．
所以正整数c=1342也是唯一的．
综上所述，存在唯一的正整数c=1342，使得对任意的正整数 c，使得 an＜c＜bn恒成立．