Question

如图，已知点M（x，y）是椭圆C：=1上的动点，以M为切点的切线l与直线y=2相交于点P．
（1）过点M且l与垂直的直线为l₁，求l₁与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
（参考定理：若点Q（x₁，y₁）在椭圆，则以Q为切点的椭圆的切线方程是：．

Answer

（1）先求切线的斜率，可得直线l1的方程，确定l1与y轴交点纵坐标，即可求得l1与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）确定P的坐标，利用以PM为直径的圆恒过点T，结合向量知识，即可求得结论．
【解析】
（1）由椭圆得：，y'=
切线的斜率为：k=，
所以，直线l1的方程为：，
所以l1与y轴交点纵坐标为：y=-=
因为-1≤x≤1，所以，，，
所以，当切点在第一、二象限时，l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：，
则利用对称性可知l1与y轴交点纵坐标的取值范围为：．
（2）依题意，可得∠PTM=90°，设存在T（0，t），M（x，y）
由（1）得点P的坐标（，2），
由可得（0-，t-2）•（-x，t-y）=0，
∴1-y+（t-2）（t-y）=0，
∴y（1-t）+（t-1）2=0
∴t=1
∴存在点T（0，1）满足条件．