Question

已知椭圆．
（1）直线AB过椭圆Γ的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求△ABC的面积；
（2）设直线l：y=kx+2与椭圆Γ交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆Γ与y轴负半轴的交点D，求实数k的值．

Answer

（1）由题意写出C点坐标，直线AB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点A、B的纵坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，代入数值即可求得面积；
（2）联立直线l与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x，y），由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出中点坐标，由垂直可得
kDH•kPQ=-1，解出即得k值，注意检验△＞0；
【解析】
（1）依题意，，，直线AB的方程为y=x，
由，得，
设A（x1，y1）B（x2，y2），∵，
∴；
（2）由得（3k2+1）x2+12kx=0，△=（12k）2≥0，
依题意，k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x，y），
则，，D（0，-2），
由kDH•kPQ=-1，得，解得．
所以实数k的值为．