Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，．从{a_n}中抽出部分项，（k₁＜k₂＜…＜k_n＜…）组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为q，其中．
（1）求a₂的值；
（2）当q取最小时，求{k_n}的通项公式；
（3）求k₁+k₂+…+k_n的值．

Answer

（1）由已知：a1=2，．令n=1即可得出；
（2）当n≥2时，由⇒nan+1-（n-1）an=an+n，（n=1时也成立）即可得出通项an．
解法一：数列{an}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，由k2=2，3，经验证不符合题意，应舍去；若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，可求出kn；
解法二：设存在（k1＜k2＜…＜kn＜…）组成的数列是等比数列，则，即即可得出kn．
（3）利用（2）求出的kn，利用等比数列的前n项和公式即可得出．
【解析】
（1）令n=1得，即，
又a1=2，∴．
（2）当n≥2时，由⇒nan+1-（n-1）an=an+n，由（1）可知：．
∴∀n∈N*，都有．
∴数列{an}是以2为首项，为公差的等差数列，∴．
解法一：数列{an}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，
若k2=2，则由，得，此时，由解得，所以k2＞2，同理k2＞3；
若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，
∴，3•2n-1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3•2n-1-2，即是数列{an}的第3•2n-1-2项．最小的公比q=2．
∴．
解法二：数列{an}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，
设存在（k1＜k2＜…＜kn＜…）组成的数列是等比数列，
则，即
∵k2、k3∈N*且k2＞1所以k2+2必有因数3，即可设k2+2=3t，t≥2，t∈N，
当数列的公比q最小时，即k2=4，⇒q=2最小的公比q=2．∴．
（3）由（2）可得从{an}中抽出部分项（k1＜k2＜…＜kn＜…）组成的数列是等比数列，其中k1=1，
那么的公比是，其中由解法二可得k2=3t-2，t≥2，t∈N．

，t≥2，t∈N
所以．