Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n
（I）当a=200时，填写下列表格；

N	2	3	51	200
an

（II）当a=200时，求数列{a_n}的前200项的和S₂₀₀；
（III）令b，T_n=b₁+b₂…+b_n求证：当1时，T．

Answer

（I）当a=200时，利用递推式，即可得到相应结论；
（II）当a=200时，由题意知{an}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4，分组求和，即可求数列{an}的前200项的和S200；
（III）确定数列的通项，分类讨论，分组求和，即可证得结论．
（I）【解析】
由题意，

n 2 3 51 200
an 196 192 1 4

…（4分）
（II）【解析】
当a=200时，由题意知{an}数列的前50项成首项为200，公差为-4的等差数列，从第51项开始，奇数项均为1，偶数项均为4．
从而S200=+==5475．…（6分）
（III）证明：当1时，因为an=，
所以=                 …（8分）
当n为偶数2k时，Tn=b1+b2+…+b2k=-+-+…+=-（++…+）+（+…+）
=+=
因为1，所以，…（10分）
当n为奇数2k-1时，Tn=b1+b2+…+b2k-1=-+-+…+-＜-（++…+）+（+…+）

综上：．…（12分）