Question

如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x²+λy²=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）
A．[-1，1）
B．{-1，0}
C．（-∞，-1]∪[0，1）
D．[-1，0]∪（1，+∞）

Answer

利用绝对值的几何意义，由y=|x|-2可得，x≥0时，y=x-2；x＜0时，y=-x-2，确定函数y=|x|-2的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0），为了使函数y=|x|-2的图象与方程x2+λy2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．y=x-2代入方程x2+λy2=4，整理可得（1+λ）x2-4λx+4λ-4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得x＜0时的情形．
【解析】
由y=|x|-2可得，x≥0时，y=x-2；x＜0时，y=-x-2，
∴函数y=|x|-2的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0），如图．
所以为了使函数y=|x|-2的图象与方程x2+λy2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，
则将y=x-2代入方程x2+λy2=4，
整理可得（1+λ）x2-4λx+4λ-4=0，
当λ=-1时，x=2满足题意，
由于△＞0，2是方程的根，
∴＜0，即-1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；
综上知，实数λ的取值范围是[-1，1）．
故选A．