Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁y₂=-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求直线l倾斜角；
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k，k₁，k₂．求证：当k为定值时，k₁+k₂也为定值．

Answer

（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用根据根与系数的关系即可得出；
（2）根据向量和（1）的结论可用k表示E点的坐标代入抛物线的方程即可得出直线l的斜率和倾斜角；
（3）利用向量计算公式和（1）中的根与系数的关系即可得出．
【解析】
（1）根据题意可知：，设直线l的方程为：，则：
联立方程：，消去x可得：y2-2pky-p2=0（*），
根据韦达定理可得：，∴p=2，
∴抛物线C的方程：y2=4x．
（2）设E（x，y），则：，由（*）式可得：y1+y2=2pk=4k
∴y=8k，
又，∴
∴
∵，∴64k2=4（8k2+4），∴2k2=1，∴
∴直线l的斜率，
∴倾斜角为或
（3）可以验证该定值为2k，证明如下：
设M（-1，yM），则：，，
∵，∴
∴
=
=
=
∴k1+k2=2k为定值．