Question

已知数列{a_n}具有性质：①a₁为整数；②对于任意的正整数n，当a_n为偶数时，；当a_n为奇数时，．
（1）若a₁为偶数，且a₁，a₂，a₃成等差数列，求a₁的值；
（2）设（m＞3且m∈N），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：；
（3）若a₁为正整数，求证：当n＞1+log₂a₁（n∈N）时，都有a_n=0．

Answer

（1）先设a1=2k，a2=k，得到a3=0，再分两种情况：k是奇数，若k是偶数，即可求出a1的值；
（2）根据题意知，当m＞3时，．再利用等比数列的求和公式即可证得结果；
（3）由于n＞1+log2a1，从而n-1＞log2a1，得出2n-1＞a1由定义可得，利用累乘的形式有，从而，再根据an∈N，得出当n＞1+log2a1（n∈N）时，都有an=0．
【解析】
（1）设a1=2k，a2=k，则：2k+a3=2k，a3=0
分两种情况：k是奇数，则，k=1，a1=2，a2=1，a3=0
若k是偶数，则，k=0，a1=0，a2=0，a3=0
（2）当m＞3时，，
∴
（3）∵n＞1+log2a1，∴n-1＞log2a1，∴2n-1＞a1
由定义可知：
∴
∴
∴
∵an∈N，∴an=0，
综上可知：当n＞1+log2a1（n∈N）时，都有an=0