Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为P，CD的中点，DE=EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，若三棱锥B-PED的体积v，求a的取值范围．

Answer

（1）通过证明AE⊥平面BEF，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA=a，利用三棱锥B-PED的体积V=VB-CED=VE-BCD，求出三棱锥B-PED的体积，结合V，即可求a的取值范围．
证明：（Ⅰ）因为AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F分别为CD的中点，DE=EC．
∴ABCD为矩形，AB⊥BF…（2分）
∵DE=EC∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF，
∵BF∩EF=F，∴AE⊥平面BEF，AE⊂面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA，PA⊥面ABCD…（6分）
三棱锥B-PED的体积V=VB-CED=VE-BCD，
S△BCD==2，E到面BCD的距离h=
VB-CED=VE-BCD=×∈…（10分）
可得a．…12 分