Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）构造函数g（x）=f（x）-3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）-3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．
【解析】
（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=，
∵f（x）＞0，
∴①当x＜-时，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②当-≤x≤3时，3x-2＞0，
∴＜x≤3；
③当x＞3时，x+4＞0，
∴x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（-∞，-4）∪（，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=，
∴当x≤-时，-x-4≥-；
当-＜x＜3时，-＜3x-2＜7；
当x≥3时，x+4≥7，
综上所述，f（x）≥-．
∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，则g（x）≥-．
∴g（x）min=-．
∴a＜g（x）min=-…10 分