Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂，且，求此时线段PO的长．

Answer

（1）根据EF⊥AC得PO⊥EF，由平面PEF⊥平面ABEFD结合面面垂直的性质定理，证出PO⊥平面ABEFD，从而得到PO⊥BD．由此结合AO⊥BD，利用线面垂直判定定理即可证出BD⊥平面POA；
（2）由PO⊥平面ABEFD，得PO是三棱锥P-ABD和四棱锥P-BDEF的高，因此将化简可得S△ABD=S四边形BDEF，从而得到S△CEF=S△BCD．最后根据△CEF∽△CDB，利用面积比等于相似比的平方，结合菱形ABCD中有关数据即可算出此时线段PO的长等于．
【解析】
（1）∵在菱形ABCD中，BD⊥AC，∴AO⊥BD
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF
∵平面PEF⊥平面ABEFD，平面PEF∩平面ABEFD=EF，PO⊂平面PEF
∴PO⊥平面ABEFD，结合BD⊂平面ABEFD，可得PO⊥BD
∵AO⊥BD，且AO、PO是平面POA内的相交直线
∴BD⊥平面POA；
（2）设AO、BO相交于点H，由（1）得PO⊥平面ABEFD，
∴PO是三棱锥P-ABD和四棱锥P-BDEF的高
∴V1=S△ABD•PO，V2=S四边形BDEF•PO，
∵，可得S△ABD=S四边形BDEF，
∴S四边形BDEF=S△ABD=S△BCD，可得S△CEF=S△BCD．
∵BD⊥AC，EF⊥AC，EF∥BD，∴△CEF∽△CDB，
因此，=，可得CO=CH=AH
∵菱形ABCD中，边长为4且∠DAB=60°
∴△ABD是边长为4的正三角形，得AH=×4=2，从而得到CO=×=
∴此时线段PO的长等于．