Question

设函数，其中a＞0．
（1）若函数y=f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；
（2）已知函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x₁、x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用函数y=f（x）在x=-1处取得极值，可得f′（-1）=0，求出a的值，检验可得结论；
（2）先确定=0有两个相异的实根x1、x2，再进行分类讨论，利用对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，即可求a的取值范围．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=-x2+2x+（a2-1）
∵函数y=f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=0
∴-1-2+（a2-1）=0
∴a=±2
经检验，a=2符合题意；
（2）由题意，=x（）=
∵函数f（x）有3个不同的零点，分别为0、x1、x2，
∴=0有两个相异的实根x1、x2，
∴△=1+＞0，∴a＜-（舍去），或a＞
且x1+x2=3
∵x1＜x2，∴2x2＞x1+x2=3，∴x2＞＞1
①若x1≤1＜x2，则f（1）=≥0，而f（x1）=0，不符合题意；
②若1＜x1＜x2，则对任意的x∈[x1，x2]，有x-x1≥0，x-x2≤0，
∴≥0
又f（x1）=0，∴f（x）在[x1，x2]上的最小值为0
∴对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，等价于f（1）=＜0
∴
综上可得a的取值范围为．