Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若N是AB上一点，且=，求证：CN∥平面AB₁M；
（Ⅲ）若CM=，求二面角A-MB₁-C的大小．

Answer

（Ⅰ）证明BC⊥AM，可证BC⊥面ACM，由CC1⊥底面ABC得到BC⊥CM，在三角形ABC中由勾股定理得到AC⊥BC，由线面垂直的判定定理得到BC⊥面ACM，则问题得证；
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，由已知及三角形相似可证得四边形MCNP是平行四边形，从而得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理得到线面平行；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知CA，CB，CC1为三条两两相互垂直的直线，以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求二面角A-MB1-C的大小．
（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
所以 CC1⊥BC．     
因为AC=BC=2，AB=，
所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC． 
又因为AC∩CC1=C，
所以BC⊥平面ACC1A1
因为AM⊂平面ACC1A1，
所以BC⊥AM；
（Ⅱ）证明：如图，
过N作NP∥BB1交AB1于P，连结MP，则
NP∥CC1，且△ANP∽△ABB1．
于是有．
由已知，有．
因为BB1=CC1．
所以NP=CM．
所以四边形MCNP是平行四边形．  
所以CN∥MP．   
因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，
所以CN∥平面AB1M；
（Ⅲ）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，
所以以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz．
因为，所以C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4），，
，．
设平面AMB1的法向量，
则，即，
令x=5，则y=-3，z=4，即．
又平面MB1C的一个法向量是，
所以==．   
由图可知二面角A-MB1-C为锐角，
所以二面角A-MB1-C的大小为．