Question

现有一组互不相同且从小到大排列的数据a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．记T=a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，，（n=0，1，2，3，4，5），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折线．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）设直线P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（Ⅲ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

Answer

（Ⅰ）结合已知代入可求f（0）=，f（1）=即可求解
（Ⅱ）由题意可得，，结合已知a＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，可判断
（Ⅲ）要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn，
法一：可证5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）＜nT，即可证明
法二：kn＜1时，yn=（y1-y）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]可证明
（Ⅰ）【解析】
，…（2分）
；   …（4分）
（Ⅱ）【解析】
，n=1，2，3，4，5．   …（6分）
因为 a＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以 k1＜k2＜k3＜k4＜k5．           …（8分）
（Ⅲ）证：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，4，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．…（9分）
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，==x．
下面证明f（xn）＜xn．
法一：对任何n（n=1，2，3，4），5（a1+a2+…+an）=[n+（5-n）]（a1+a2+…+an）…（10分）=n（a1+a2+…+an）+（5-n）（a1+a2+…+an）≤n（a1+a2+…+an）+（5-n）nan…（11分）=n[a1+a2+…+an+（5-n）an]＜n（a1+a2+…+an+an+1+…+a5）=nT…（12分）
所以 ．…（13分）
法二：对任何n（n=1，2，3，4），
当kn＜1时，yn=（y1-y）+（y2-y1）+…+（yn-yn-1）=；…（10分）
当kn≥1时，yn=y5-（y5-yn）=1-[（yn+1-yn）+（yn+2-yn+1）+…+（y5-y4）]=．
综上，f（xn）＜xn．           …（13分）