Question

已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若，求tanα的值．

Answer

（1）由函数的最值，可得A=1．根据图象函数算出最小正周期T=π，从而得到ω=2．最后根据当x=时函数达到最大值，算出φ=，即可得到函数f（x）的表达式；
（2）由（1）得即，由三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，解出cos2α=，sin2α=，结合同角三角函数关系可得tan2α=，最后结合α∈（0，），解出tanα=（舍负）．
【解析】
（1）根据题意，得
∵函数的最大值为1，最小值为-1，∴A=1
∵函数的最小正周期T，满足=-=
∴T=π，得=π，解之得ω=2
∵当x=时，函数达到最大值为1，
∴f（）=sin（+φ）=1，可得+φ=+2kπ（k∈Z）
∵，∴取k=1，得φ=
因此，函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）；
（2）∵f（x）=sin（2x+），
∴，可得cos2α=
∵cos2α=cos2α-sin2α=，cos2α+sin2α=1
∴cos2α=，sin2α=，可得tan2α==
∵α∈（0，），∴tanα=（舍负）