Question

如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A₁DE
（1）当平面A₁DE⊥平面BCD时，求直线CD与平面A₁CE所成角的正弦值；
（2）设M为线段A₁C的中点，求证：在△ADE翻转过程中，BM的长度为定值．

Answer

（1）利用线面、面面垂直的判定和性质定理及线面角的定义即可求出；
（2）由二面角A1-EC-D为定值，且与二面角M-EC-B互补，及MO、BO为定值，即可得证．
【解析】
（1）由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED2=22+22=8=CE2，CD2=42=16，∴CE2+ED2=CD2，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．
又∵平面A1DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A1DE，∴CE⊥DA1．
又∵DA1⊥A1E，A1E∩EC=E，∴DA1⊥平面A1CE，∴∠A1CE即为直线CD与平面A1CE所成的角．
在Rt△A1CD中，sin∠A1CD==．
（2）如图所示，
由（1）可知：CE⊥平面A1ED，∴∠A1ED为A1-EC-D的二面角的平面角，且为45°．
取CE的中点O，连接BO、MO，由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，=1，∴MO⊥CE；
在等腰Rt△EBC中，CO=OE=，则BO⊥CE．，∴∠MOB为二面角M-EC-B的平面角；
由图形可知：二面角A1-EC-D与二面角M-EC-B互补，因此二面角M-EC-B的平面角为135°．
又OB=，在△MOB中，由余弦定理可得MB2==5．
∴．