Question

已知各项为正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列的前n项和为T_n，求T_n的最大值．

Answer

（1）由题意，利用条件，可得，a2（a2-a1）=a2，根据数列{an}各项为正，可求a1；
（2）利用条件再写一式，两式相减，利用等比数列的通项公式，即可得到结论；
（3）确定数列的通项，得出正数项与负数项，即可求最值．
【解析】
（1）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①
当n=2时，得=2a1+2a2②
②-①得，a2（a2-a1）=a2③
∵数列{an}各项为正，∴a2≠0，∴a2-a1=1④
①④联立可得a1=+1，a2=+2，（负值舍去）
综上可得，a1=+1；
（2）当n≥2时，（2+）an=S2+Sn，（2+）an-1=S2+Sn-1，
两式相减可得（1+）an=（2+）an-1，
∴an=an-1，
∴an=（1+）•；
（3）令，则bn=lg2
令bn＞0，则n＜5，令bn＜0，则n＞5
∴数列的前4项为正，第5项为0，从第6项开始为负
∴数列的前4项或前5项的和取得最大值，最大值为=5lg2．