Question

设S_n为数列{a_n}前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=2-a_n，数列{b_n}满足，b₁=2a₁，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列的前n项和T_n．

Answer

（1）当n=1时，由a1=S1=2-a1，可求a1，n≥2时，由an=Sn-Sn-1，可得an=与an-1之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求an
（2）由，可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求bn
（3）由（1）（2）可求，利用错位相减求和即可求解
（本小题满分14分）
证明：（1）当n=1时，a1=S1=2-a1，解得a1=1．                                …（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-1-an，即2an=an-1．
∴．                                                   …（2分）
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即．     …（4分）
【解析】
（2）b1=2a1=2．                                                           …（5分）
∵，
∴，即．                  …（6分）
∴是首项为，公差为1的等差数列．                                 …（7分）
∴，…（8分）
（3）∵，
则．             …（9分）
所以，…（10分）
即，①…（11分）
则，②…（12分）
②-①得，…（13分）
故．                …（14分）