Question

关于二项式（x-1）²⁰¹³有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；
（2）该二项展开式中第六项为；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当x=2014时，（x-1）²⁰¹³除以2014的余数是2013．
其中正确命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

利用赋值求出各项系数和，判断出命题（1）正确；利用二项展开式的通项公式求出第六项，判断出命题（2）错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题（3）正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题（4）正确．
【解析】
此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为-1，故（1）正确；
其第六项T6=C20135x2013-5•（-1）5=-C20135x2008，故（2）错；
该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故（3）正确；
（x-1）2013=（x2013-C20131x2012+C20132x2011-…+C20132012x）-1=（x2013-C20131x2012+C20132x2011-…+C20132012-1）x+x-1．当x=2014时，被2014除的余数为2014-1=2013．故（4）正确．
其中正确命题有3个．
故选C．