Question

已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0
（1）令ω=1，判断函数F（x）=f（x）+f（x+）的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，对任意a∈R，求y=g（x）在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值．

Answer

（1）特值法：ω=1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（-），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；
（2）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）=0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；
【解析】
（1）f（x）=2sinx，
F（x）=f（x）+f（x+）=2sinx+2sin（x+）=2（sinx+cosx），
F（）=2，F（-）=0，F（-）≠F（），F（-）≠-F（），
所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）f（x）=2sin2x，
将y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2（x+）+1的图象，所以g（x）=2sin2（x+）+1．
令g（x）=0，得x=kπ+或x=kπ+（k∈z），
因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，
当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．
综上，y=g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．