Question

已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由题意代入式子计算即可；
（2）把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成等比数列可得关于a1的方程，解出即可；
（3）假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2-a1+|2-|a1||=2|a1|（*），分情况①当a1＞2时②当0＜a1≤2时③当a1≤0时讨论，由（*）式可求得a1进行判断；③当a1≤0时，由公差d＞2可得矛盾；
【解析】
（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；
（2）a2=2-|a1|=2-a1，a3=2-|a2|=2-|2-a1|，
①当0＜a1≤2时，a3=2-（2-a1）=a1，
所以，得a1=1；
②当a1＞2时，a3=2-（a1-2）=4-a1，
所以，得（舍去）或．
综合①②得a1=1或．
（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2-|a1|，
a3=2-|2-|a1||，由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|（*），
以下分情况讨论：
①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；
②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），
所以{an}是一个等差数列；
③当a1≤0时，则公差d=a2-a1=（a1+2）-a1=2＞0，
因此存在m≥2使得am=a1+2（m-1）＞2，
此时d=am+1-am=2-|am|-am＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．