Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又∠CAD=30°，PA=AB=4，点N在线段PB上，且．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=l，试问直线l是否与直线CD平行，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）通过证明BD⊥平面PAC，然后证明BD⊥PC；
（Ⅱ）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线 平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；
（Ⅲ）利用反证法证明直线l∥CD，推出CD∥AB与CD与AB不平行矛盾从而说明直线l与直线CD不平行．
【解析】
（I）证明：（I） 因为△ABC是正三角形，M是AC中点，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，PA⊥BD…（2分）
又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）
又PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）
（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）
在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，所以AD=CD
∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）
所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所 以MN∥平面PDC…（11分）
（Ⅲ）假设直线l∥CD，因为l⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，
所以CD∥平面PAB…（12分）
又CD⊂平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）
这与CD与AB不平行，矛盾
所以直线l与直线CD不平行…（14分）