Question

函数f（x）=x³-kx，其中实数k为常数．
（I） 当k=4时，求函数的单调区间；
（II） 若曲线y=f（x）与直线y=k只有一个交点，求实数k的取值范围．

Answer

（I）先求原函数的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（II）将题中条件：“函数f（x）的图象与直线y=k只有一个公共点，”等价于“g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点”，利用导数求得原函数的极值，最后要使g（x）的其图象和x轴只有一个交点，得到关于k的不等关系，从而求实数k的取值范围．
【解析】
（I）因为f′（x）=x2-k…（2分）
当k=4时，f′（x）=x2-4，令f′（x）=x2-4=0，所以x=-2或x=2
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

…（4分）
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞）
单调递减区间是（-2，2）…（6分）
（II）令g（x）=f（x）-k，所以g（x）只有一个零点…（7分）
因为g′（x）=f′（x）=x2-k
当k=0时，g（x）=x3，所以g（x）只有一个零点0                …（8分）
当k＜0时，g′（x）=x2-k＞0对x∈R成立，
所以g（x）单调递增，所以g（x）只有一个零点…（9分）
当k＞0时，令g′（x）=f′（x）=x2-k
=0，解得x=或x=-…（10分）
所以情况如下表：

x （-∞，-） - （-，） （，+∞）
g′（x） + - +
g（x） 增 极大值 减 极小值 增

g（x）有且仅有一个零点等价于g（-）＜0…（11分）
即g（-）=k＜0，解得0＜k＜…（12分） 
综上所述，k的取值范围是k＜…（13分）