Question

设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）为平面直角坐标系上的两点，其中x_A，y_A，Bx_B，y_B∈Z．令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A，若|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，则称点B为点A的“相关点”，记作：B=i（A）．
（Ⅰ）请问：点（0，0）的“相关点”有几个？判断这些点是否在同一个圆上，若在，写出圆的方程；若不在，说明理由；
（Ⅱ）已知点H（9，3），L（5，3），若点M满足M=i（H），L=i（M），求点M的坐标；
（Ⅲ）已知P（x，y）（x∈Z，Y∈Z）为一个定点，点列{P_i}满足：P_i=i（P_i-1），其中i=1，2，3，…，n，求|PP_n|的最小值．

Answer

（I）由题意可得|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，由此可得点（0，0）的“相关点”有8个．再根据+=5，可得这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．
（II）设M（xM，yM），由条件推出|xM-9|+|yM-3|=3，|xM-5|+|yM-3|=3，由此求得点M的坐标．
（III） 分当n=1、当n=2k，当n=2k+1，且 k∈N* 时，三种情况，分别求得|PPn|的最小值，综合可得结论．
【解析】
（I）因为|△x|+|△y=3，且|△x|-|△y|≠0，|△x|与|△y|为非零整数，
故|△x|=1，|△y|=2；或|△x|=2，|△y|=1，所以点（0，0）的“相关点”有8个，
分别为：（1，2）、（1，-2）、（-1，2）、（-1，-2）、（2，1）、（2，-1）、
（-2，1）、（-2，-1）．…（1分）
又因为 （△x）2+（△y）2=5，即+=5，
所以，这些可能值对应的点在以（0，0）为圆心，以为半径的圆上．…（3分）
（II）设M（xM，yM），因为M=i（H），L=i（M），
所以有|xM-9|+|yM-3|=3，|xM-5|+|yM-3|=3，…（5分）
所以|xM-9|=|xM-5|，所以xM=7，故yM=2 或 yM=4，
所以M（7，2），或M（7，4）．…（7分）
（III）当n=2k，且 k∈N* 时，|PPn|的最小值为0．例如：P（x，y ），
P1 （x+1，y ），P2（（x，y ），显然，P=i（P1），P1=i（P2），此时，|PP2|=0．…（8分）
当n=1时，可知，|PPn|的最小值为 ．…（9分）
当n=3 时，对于点P，按照下面的方法选择“相关点”，可得P3（x，y+1）：
由P（x，y ），依次找出“相关点”分别为P1（x+2，y+1），P2（x+1，y+3），P3（x，y+1）．
此时，|PP3|=1，故|PPn|的最小值为1．…（11分）
然后经过3次变换回到P3（x，y+1），故|PPn|的最小值为1．
当n=2k+1，k＞1，k∈N* 时，经过2k次变换回到初始点P（x，y ），
故经过2k+1次变换回到P3（x，y+1），故|PPn|的最小值为1．
综上，当 n=1 时，|PPn|的最小值为．
当当n=2k，k∈N* 时，|PPn|的最小值为0，
当n=2k+1，k∈N* 时，|PPn|的最小值为1．   …（13分）