Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足，设．
（I）求证：数列{c_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）按以下规律构造数列{b_n}，具体方法如下：b₁=c₁，b₂=c₂+c₃，b₃=c₄+c₅+c₆+c₇，…第n项b_n由相应的{c_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n}的通项b_n．

Answer

（I）由Sn+an+=2知，当n=1时可求得a1，当n≥2时，可求得2nan-2n-1an-1=1，由cn=2nan，可得数列{cn}是等差数列，从而可求得其通项公式；
（II）依题意，bn=+++…+=2n-1+（2n-1+1）+（2n-1+2）+…+（2n-1），利用等差数列的求和公式即可求得答案．
【解析】
（I）在Sn+an+=2①中，令n=1，
得：S1+a1+1=2，
∴a1=．
当n≥2时，Sn-1+an-1+=2，②
①-②得：2an-an-1-=0，（n≥2），…2
∴2an-an-1=，
∴2nan-2n-1an-1=1…3分
又cn=2nan，
∴cn-cn-1=1（n≥2），又c1=2a1=1，
∴数列{cn}是等差数列，…4分
∴cn=1+（n-1）×1=n，又cn=2nan，
∴an=…6分
（II）由题意得
bn=+++…+…7分
=2n-1+（2n-1+1）+（2n-1+2）+…+（2n-1）…8分
而2n-1，2n-1+1，2n-1+2，…，2n-1是首项为2n-1，公差为1的等差数列，
设数列共有2n-1项，…9分，
所以，bn=
=
=3×22n-3-2n-2…12分