Question

已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=4，证明：直线AB过定点（，-1）．

Answer

（I）由等轴双曲线的离心率为，可得椭圆的离心率．因为直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，利用点到直线的距离公式和直线与圆相切的性质可得，再利用a2=b2+c2即可得出；
（II）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，①不存在时比较简单；②斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，由椭圆m≠±1．与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式，再利用k1+k2=4即可证明．
（I）【解析】
∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，
又∵直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，
∴，即b=1，
联立，解得，
∴椭圆C的方程为．
（II）证明：由（I）可知：M（0，1）．
①若直线AB的斜率不存在，设方程为x=x，则A（x，y），B（x，-y）．
由已知得，解得，
此时直线AB的方程为，显然过点．
②若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，由椭圆m≠±1．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立．
化为（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∴，．（*）
∵k1+k2=4，∴，
∴，化为．
把（*）代入得，∴k=2（m+1），∴．
∴直线AB的方程为，即，
∴直线AB过定点．