Question

已知，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．
（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值．

Answer

（1）先确定直线l的方程为y=x-1，利用直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），建立方程，即可求得g（x）的解析式；
（2）确定函数h（x）的解析式，利用导数求得函数的单调性，即可求函数h（x）的极大值．
【解析】
（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，
∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）
又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），
∴在点（1，0）的导函数值为1．
∴，∴，…（4分）
∴…（6分）
（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）…（7分）
∴…（9分）
令h′（x）=0，得或x=-1（舍）…（10分）
当时，h′（x）＞0，h（x）递增；当时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）
因此，当时，h（x）取得极大值，
∴[h（x）]极大=…（14分）