Question

已知等比数列{a_n}的首项为l，公比q≠1，S_n为其前n项和，a_l，a₂，a₃分别为某等差数列的第一、第二、第四项．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n+1，数列{}的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（I）由题意可得a3-a2=2（a2-a1），结合等比数列的通项公式表示已知，解方程可求q，进而利用等比数列的通项公式可求通项及和
（II）由（I）可知，bn=log2an+1=n，代入==（），利用裂项求和方法即可求解Tn，可证明
【解析】
（I）al，a2，a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项
∴a3-a2=2（a2-a1）
∴
∵a1=1
∴q2-3q+2=0
∴q=2
∴an=2n-1
=2n-1
（II）由（I）可知，bn=log2an+1=n
∴==（）
∴Tn=
=
=