Question

如图，五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF=BC．
（I）证明：EO∥面ABF；
（Ⅱ）若EF=EO，证明：平面EFO⊥平面ABE．

Answer

（I）通过证平行四边形证线线平行，再由线线平行证明线面平行即可；
（II）先通过证线面垂直证线线垂直，再由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．
证明：（I）证明：取AB的中点M，连接FM，OM，
∵O为矩形ABCD的对角线的交点，∴OM∥BC，且OM=BC，
又EF∥BC，且EF=BC，∴OM=EF，且EF∥OM，
∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM，又FM⊂平面ABF，EO⊄平面ABF，
∴EO∥平面ABF．
（II）∵由（I）知四边形EFMO为平行四边形，∵EE=EO，
∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则FO⊥EM，
又∵三角形ABF为等边三角形，且M为AB的中点，
∴FM⊥AB，MO⊥AB，∴AB⊥平面EFMO，∴AB⊥FO，
又AB∩EM=M，∴FO⊥平面ABE，FO⊂平面EFO，
∴平面ABE⊥平面EFO．