Question

抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

Answer

设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2-ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【解析】
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|2=a2+b2-2abcos120°=a2+b2+ab
配方得，|AB|2=（a+b）2-ab，
又∵ab≤（） 2，
∴（a+b）2-ab≥（a+b）2-（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．
所以≤=，即的最大值为．
故选：A