Question

设τ=（x₁，x₂，…，x₁₀）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x₁₁=x₁．
（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（τ）的值；
（Ⅱ）求S（τ）的最大值；
（Ⅲ）求使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数．

Answer

（Ⅰ）依题意，τ=（x1，x2，…，x10）=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），代入S（τ）=|2xk-3xk+1|计算即可求得S（τ）的值；
（Ⅱ）可求得数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍，从而可求得其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差，从而可得S（τ）的最大值；
（Ⅲ）利用数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，从而使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列组合知识即可求得答案．
【解析】
（Ⅰ）∵τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），x11=x1，
依题意，S（τ）=|2xk-3xk+1|，
∴S（T）=|2xk-3xk+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．…（3分）
（Ⅱ）数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍分别如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203-72=131，所以S（τ）≤131．
对于排列τ=（1，5，6，7，2，8，3，9，4，10），此时S（τ）=131，
所以S（τ）的最大值为131．…（8分）
（Ⅲ）由于数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，所以使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．设x1=1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○
其中2，3，4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7，8，9，10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x1=1时，使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880，由轮换性知，使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数为28800．…（13分）