Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E，F，G分别为线段AC₁，A₁C₁，BB₁的中点，求证：
（1）平面ABC⊥平面ABC₁；
（2）EF∥面BCC₁B₁；
（3）GF⊥平面AB₁C₁．

Answer

（1）由BC⊥AB和BC⊥BC1即可推得平面ABC⊥平面ABC1；
（2）先利用条件推得EF∥AA1，再利用BB1∥AA1即可得到EF∥BB1⇒EF∥面BCC1B1；
（3）先证明FG⊥AC1，再利用条件BC⊥面ABC1推出FG⊥B1C1，即可得到GF⊥平面AB1C1．
证明：（1）
∵BC⊥AB
BC⊥BC1
AB∩BC1=B
∴平面ABC⊥平面ABC1（4分）

（2）∵AE=EC1，A1F=FG，∴EF∥AA1∵BB1∥AA1
∴EF∥BB1∵EF⊄BCC1B1∴EF∥面BCC1B1；

（3）连接EB，则四边形EFGB为平行四边形
∵EB⊥AC1
∴FG⊥AC1
∵BC⊥面ABC1
∴B1C1⊥面ABC1
∴B1C1⊥BE
∴FG⊥B1C1
∵B1C1∩AC1=C1，
所以：GF⊥平面AB1C1