Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，设．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}中最大项；
（3）求证：对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer

（1）利用递推关系，再写一式，两式相减，可得，利用，即可证明数列{bn}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公式；
（2）确定数列{an•bn}的通项，从而可得数列的单调性，即可求最大项；
（3）利用错位相减法求数列的和，确定相应的值域，即可证得结论．
（1）证明：∵，
∴n≥2时，
两式相减可得
∴
∴
∵
∴bn-bn-1=4
∵n=1时，，∴
∴=-1
∴数列{bn}是以-1为首项，4为公差的等差数列
∴，
（2）【解析】
an•bn=
令f（n）=，则=
令＜1，则16n2-72n+49＞0
∴n＞5时，＜1，n＜5时，＞1
∴数列从第一项到第四项，单调递增，从第五项开始，单调递减
所以最大项是第四项；
（3）证明：∵
∴数列{an}的前n项和为Sn=++…+
∴Sn=+…++
两式相减可得Sn=++…+-
∴Sn=3-
∴S1=
∴Sn的值域[，3），
∵bn=4n-5，∴bn的值域[-1，+∞），
∴对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λSn＜bn恒成立．