Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=，且a_n+2=．
（I）求证：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

Answer

（1）把所给的递推式整理，构造要求的数列形式，仿写一个递推式，用数列的后一项去减前一项，合并同类项，发现满足等差中项公式，得到结论．
（2）写出（1）中的数列通项，用叠乘的方法把其他项都约去，得到第n项和第一项，因第一项可求出结果，所以得到通项公式．
（3）根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解．
【解析】
（I）∵
=
=，
∴，
∴数列满足等差中项公式为等差数列．

（II）由（I）得
故当n≥2时，
即
又当n=1时，满足上式
所以通项公式为．

（III）∵
∴第n行各数之和
∴表中前n行所有数的和
Sn=（22-2）+（23-2）++（2n+1-2）
=（22+23++2n+1）-2n
=
=2n+2-2n-4