Question

如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=3AF．
（Ⅰ） 求证：AC⊥BE；
（Ⅱ） 求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，证明你的结论．

Answer

（I）在正方形ABCD中，可得AC⊥BD．根据DE⊥平面ABCD，得DE⊥AC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE，从而可得AC⊥BE；
（II）分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系．设AD=3，则可得DE=3，AF=1，可得D、A、B、C、E和F各点的坐标，进而得到向量、的坐标，再利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面BEF的一个法向量为=（2，1，3），而=（-3，3，0）是平面BDE的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出、所成的角余弦值，即可得到二面角F-BE-D的余弦值；
（III）设M（t，t，0）（）．可得关于t的坐标形式，根据AM∥平面BEF，得⊥=0，由数量积为零建立关于t的方程，解之得t=1，从而得到当BM=BD时，AM∥平面BEF．
【解析】
（Ⅰ）∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又∵BD、DE是平面BDE内的相交直线，
∴AC⊥平面BDE，结合BE⊂平面BDE，得AC⊥BE；…（4分）
（II）因为直线BD、BC、BE两两垂直，所以分别以DADCDE为x轴、y轴、z轴，建立如图所求空间直角坐标系
设AD=3，则可得DE=3，AF=1
因此，D（0，0，0），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，0），E（0，0，3），F（3，0，1）
∴=（0，-3，1），=（3，0，-2）…（5分）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），得，
令z=3，得x=2且y=1，可得=（2，1，3），…（7分）
∵AC⊥平面BDE，得=（-3，3，0）是平面BDE的一个法向量
∴二面角F-BE-D的大小即为向量、所成角的大小（或其补角）
∵cos===-
∴结合图形加以观察，
可得二面角F-BE-D的余弦值为|cos|=；…（10分）
（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，
根据（II）的结论，设M（t，t，0）（）．
则=（t-3，t，0）．
∵AM∥平面BEF，∴•=0，即2（t-3）+t=0，解之得t=2．…（12分）
此时，点M坐标为（2，2，0），
即当BM=BD时，AM∥平面BEF．…（14分）