Question

设m＞3，对于项数为m的有穷数列{a_n}，令b_k为a₁，a₂，a₃…a_k（k≤m）中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{c_n}；
（Ⅱ）是否存在数列{c_n}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{c_n}的个数；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由题意可得，创新数列为3，4，4，4的所有数列{cn}有两，即3，4，1，2和3，4，2，1．
（II）设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m，经检验，只有公比q=1时，数列{cn}才有唯一的一个创新数列．
（III）设存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列，当d=0时，{em}为常数列，满足条件；数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有个数列．当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}是1，2，3…m，有1个．d≥2时，{em} 不存在．由此得出结论．
【解析】
（I）根据“创新数列”的定义，可得创新数列为3，5，5，5，5的数列{cn}有：
3，5，1，2，4．
3，5，1，4，2．
3，5，2，1，4．
3，5，2，4，1．
3，5，4，1，2．
3，5，4，2，1．…（4分）
（II）存在数列{cn}的创新数列为等比数列．…（5分）
设数列{cn}的创新数列为{en}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m． …（6分）
若{em}为等比数列，设公比为q，因为 ek+1≥ek （k=1，2，3…m-1），所以q≥1．…（7分）
当q=1时，{em}为常数列满足条件，即为数列为常数数列，每一项都等于m． …（9分）
当q＞1时，{em}为增数列，符合条件的数列只能是1，2，3…m，
又1，2，3…m不满足等比数列，综上符合条件的创新数列只有一个． …（10分）
（3）设存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列，…（11分）
设数列{cn}的创新数列为{em}，因为em为前m个自然数中最大的一个，所以em=m．若 {em}为等差数列，设公差为d，
因为 ek+1≥ek （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N*． …（12分）
当d=0时，{em}为常数列，满足条件，即为数列 em=m，
此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列，共有 个数列； …（14分）
当d=1时，符合条件的数列{em}只能是1，2，3…m，此时数列{cn}是1，2，3…m，有1个； …（15分）
当d≥2时，∵em=e1+（m-1）d≥e1+2（m-1）=e1+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴em＞m 这与 em=m矛盾，所以此时{em} 不存在． …（17分）
综上满足条件的数列{cn}的个数为（m-1）!+1个． …（18分）