Question

对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f^-1（x），且f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x，则x=    ．

Answer

根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x的值．
【解析】
因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f-1（[0，1））=[1，2），f-1（2，4]）=[0，1），
所以对于函数f（x），
当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；
当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；
所以当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x无解，
又因为方程f（x）-x=0有解x，且定义域为[0，3]，
故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x）=x，只有x=2，
故答案为：2．