Question

给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a₁，a₂，a₃，…满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若a₁=-c-2，求a₂及a₃；
（2）求证：对任意n∈N^*，a_n+1-a_n≥c；
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer

（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；
（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；
（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜-c-4时，当-c-4≤a1＜-c时，当a1≥-c时．即可得出a1的取值范围．
【解析】
（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，
又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，
∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；
③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．