Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∠ABC=60°，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′（如图）．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABC′；
（Ⅱ）求证：C′N∥平面ADD′；
（Ⅲ）求二面角A-C′N-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由梯形的性质和N是BC的中点可得四边形ANCD是平行四边形，得到AN=DC；利用等腰梯形可得AN=AB，又∠ABC=60°，得到△ABN是等边三角形，于是AN=BN=NC，由出可得△ABC是直角三角形，即AC⊥AB，再利用面面垂直的性质即可得到结论；
（Ⅱ）由已知可得：AD∥BC，AD′∥BC′，利用面面平行的判定定理即可得出；
（Ⅲ）如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的一余弦值．
（Ⅰ）证明：∵，N是BC的中点，
∴AD=NC，又AD∥BC，
∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN=DC．
又∵等腰梯形，∴AN=AB．
又∠ABC=60°，
∴△ABN是等边三角形．
∴，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°．
∴AC⊥AB．
∵平面C′BA⊥平面ABC，
∴AC⊥平面ABC′．
（Ⅱ）证明：∵AD∥BC，AD′∥BC′，
AD′∩AD=A，BC∩BC′=B，
∴平面ADD′∥平面BCC′，
∴C′N∥平面ADD′．
（Ⅲ）∵AC⊥平面ABC′，
同理AC′⊥平面ABC，建立如图如示坐标系
设AB=1，
则B（1，0，0），C，，，
则，．
设平面C′NC的法向量为，
则，即，
令z=1，则x=，y=1，得．
∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC．
又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC=AN，
∴BD⊥平面C′AN，
设BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O．
所以平面C′AN的法向量．           
∴=．
由图形可知二面角A-C′N-C为钝角．
所以二面角A-C′N-C的余弦值为．