Question

交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值，交通指数取值范围为0～10，分为五个级别，0～2 畅 通；2～4 基本畅通；4～6 轻度拥堵；6～8 中度拥堵；8～10 严重拥堵．
早高峰时段，从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图．

（Ⅰ）这50个路段为中度拥堵的有多少个？
（Ⅱ）据此估计，早高峰四环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟；中度拥堵为42分钟；严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．

Answer

（Ⅰ）根据（0.2+0.16）×1×50=18可得这50路段为中度拥堵的数目；
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．通过三个路段严重拥堵相互独立，故利用相互独立事件乘法公式可求三个路段至少有一个是严重拥堵的概率；
（III）此人所用时间的随机变量X取值为30，36，42，60，根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望．
【解析】
（Ⅰ）（0.2+0.16）×1×50=18
这50路段为中度拥堵的有18个．                    …（3分）
（Ⅱ）设事件A“一个路段严重拥堵”，则P（A）=0.1
事件B“至少一个路段严重拥堵”，则P（）=（1-P（A））3=0.729
P（B）=1-P（）=0.271．
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271…（8分）
（III）设此人所用时间为X分钟，X分布列如下表：

X 30 36 42 60
P 0.1 0.44 0.36 0.1

EX=30×0.1+36×0.44+42×0.36+60×0.1=39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟．…（13分）