Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x=2的距离是到点F（1，0）的距离的倍．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP与（Ⅰ）中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（I）设点P的坐标为（x，y），根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式，结合题意建立关于x、y的等式，化简整理可得x2+2y2=2，所以动点P的轨迹方程为椭圆+y2=1；
（II）设点P（x1，y1），Q（x2，y2）．将直线FP方程x=ty+1与椭圆消去x，得到关于y的一元二次方程，结合根与系数的关系得到y1+y2和y1y2关于t的表达式．若△APM的面积是△AQN面积的9倍，由平几知识可得△AQN∽△APM，则PM=3QN，结合椭圆的性质得PF=3QF．因此得到y1=-3y2结合前面的等式，解出t=-1，从而得到存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．
【解析】
（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）．
由题意知•=|2-x|…（3分）
化简得x2+2y2=2，
∴动点P的轨迹方程为x2+2y2=2，即+y2=1--------（5分）
（Ⅱ）设直线FP的方程为x=ty+1，点P（x1，y1），Q（x2，y2）
因为△AQN∽△APM，所以PM=3QN，
由已知得PF=3QF，所以有y1=-3y2…（1）--------（7分）
由，消去x得（t2+2）y2+2ty-1=0，
∴△＞0且y1+y2=-…（2），y1y2=-…（3）--------（10分）
联解（1）（2）（3），得t=-1，y1=1，y2=-或t=1，y1=-1，y2=
∴存在点P（0，±1）使得△APM的面积是△AQN面积的9倍．--------（13分）