Question

设函数，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）＜（x-2）lgm在区间[1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

依据题意利用函数解析式，结合题设不等式求得1-a＞（ ）x+（ ）x+…+（ ）x，记为g（x）．根据m的范围，判断出g（x）在[1，+∞）上单调递减，进而求得函数g（x）的最大值，利用g（x）max＜1-a求得a范围即可．
【解析】
f（x）=lg ＜（x-2）lgm=lgmx-2，
∴＜mx-2．
∴1-a＞（ ）x+（ ）x+…+（ ）x=g（x）．
∵，，…，∈（0，1），
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减．
∴g（x）max=f（1）=++…+=．
由题意知，1-a＞，
∴a＜．
故答案为：．