Question

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆离心率e的取值范围是     ．

Answer

先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，进而表示出该矩形的面积，由3b2≤2ab≤4b2，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式关系，进而求得的范围，即离心率e的范围．
【解析】
设椭圆的标准方程为+=1，
在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b2≤2ab≤4b2，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b2≤4a2≤16b2，
9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），
5a2≤9c2且12 a2≥16 c2，
∴≤≤
即e∈[，]
故答案为：[，]