Question

在平面直角坐标系xOy中，设A（-1，1），B，C是函数图象上的两点，且△ABC为正三角形，则△ABC的高为    ．

Answer

设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，联立方程组⇒kx2+bx-1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理，结合△ABC为正三角形，可求得k及|AD|，从而可得答案．
【解析】
设B、C为直线y=kx+b（k＜0，b＞0）与y=的交点，
由得kx2+bx-1=0．设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=-，y1+y2=+==b，
设BC的中点为D，则D（-，）．因为A（-1，1），
依题意，kAD•kBC=-1，即•k=-1，由于k＜0，故1-k≠0，
∴b=（b＞0）．
∵|BC|=|x1-x2|=•=•=•
∴dA-BC=|BC|，即=×|BC|=×2•，
即=ו，解得：k=．
∵b=＞0，
∴k=，k2=，
∴dA-BC======2．
故△ABC的高为2．
故答案为：2．