Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x²+y²=r²和直线l：x=a（其中r和a均为常数，且0＜r＜a），M为l上一动点，A₁，A₂为圆C与x轴的两个交点，直线MA₁，MA₂与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若r=2，M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标．

Answer

（1）通过r=2，M点的坐标为（4，2），求出A1（-2，0），A2（2，0）．然后推出P、Q坐标，即可求直线PQ方程；
（2）证明法一：设A1（-r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，直线MA1的方程，通过直线与圆的方程联立，求出直线PQ的方程，然后说明经过定点，求定点的坐标．
法二：设得A1（-r，0），A2（r，0）．设M（a，t），求出直线MA1的方程，与圆C的交点P设为P（x1，y1）．求出直线MA2的方程，与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，求出公共弦方程，说明经过定点，求定点的坐标．
【解析】
（1）当r=2，M（4，2），则A1（-2，0），A2（2，0）．
直线MA1的方程：x-3y+2=0，解得．…（2分）
直线MA2的方程：x-y-2=0，解得Q（0，-2）． …（4分）
由两点式，得直线PQ方程为：2x-y-2=0． …（6分）
（2）证法一：由题设得A1（-r，0），A2（r，0）．设M（a，t），
直线MA1的方程是：y=（x+r），
直线MA1的方程是：y=（x-r）．…（8分）
解得．…（10分）
解得． …（12分）
于是直线PQ的斜率kPQ=，
直线PQ的方程为． …（14分）
上式中令y=0，得x=，是一个与t无关的常数．
故直线PQ过定点． …（16分）
证法二：由题设得A1（-r，0），A2（r，0）．设M（a，t），
直线MA1的方程是：y=（x+r），与圆C的交点P设为P（x1，y1）．
直线MA2的方程是：y=（x-r）；与圆C的交点Q设为Q（x2，y2）．
则点P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，…（10分）
化简得  （a2-r2）y2-2ty（ax-r2）+t2（x2-r2）=0．          ①
又有P（x1，y1），Q（x2，y2）在圆C上，圆C：x2+y2-r2=0．②
①-t2×②得 （a2-r2）y2-2ty（ax-r2）-t2（x2-r2）-t2（ x2+y2-r2）=0，
化简得：（a2-r2）y-2t（ax-r2）-t2 y=0．
所以直线PQ的方程为（a2-r2）y-2t（ax-r2）-t2 y=0．      ③…（14分）
在③中令y=0得 x=，故直线PQ过定点．…（16分）