Question

设无穷数列{a_n}满足：∀n∈N^*，a_n＜a_n+1，．记．
（1）若，求证：a₁=2，并求c₁的值；
（2）若{c_n}是公差为1的等差数列，问{a_n}是否为等差数列，证明你的结论．

Answer

（1）根据已知条件排除a1=1、a1≥3即可证得a1=2，，通过计算可得a2=3，故=b2，代入数值可求得；
（2）由an+1＞an⇒n≥2时，an＞an-1，由此可推得an≥am+（n-m）（m＜n），从而，即cn+1-cn≥an+1-an，又{cn}是公差为1的等差数列，所以1≥an+1-an，又an+1-an≥1，故an+1-an=1，由此可判断{an}是否为等差数列；
（1）因为，所以若a1=1，则矛盾，
若，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1=2． 
于是，
从而． 
（2）{an}是公差为1的等差数列，证明如下：
an+1＞an⇒n≥2时，an＞an-1，
所以an≥an-1+1⇒an≥am+（n-m），（m＜n），即cn+1-cn≥an+1-an，
由题设，1≥an+1-an，又an+1-an≥1，
所以an+1-an=1，即{an}是等差数列．